TUGAS BAB 7, BAB 8, BAB 9

TUGAS STATISTIKA BAB 7 , BAB 8 , DAN BAB 9

 

 

BAB7PengujianHipotesis  

Uji hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan, sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya. Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisis data". Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar. Daerah kritis (bahasa Inggris: critical region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritis ini biasanya disimbolkan dengan huruf C. Definisi Istilah Definisi berikut diambil dari buku karangan Lehmann dan Romano:[3] Hipotesis statistik Sebuah pernyataan tentang parameter yang menjelaskan sebuah populasi (bukan sampel). Statistik Angka yang dihitung dari sekumpulan sampel. Hipotesis nol (H0) Sebuah hipotesis yang berlawanan dengan teori yang akan dibuktikan. Hipotesis alternatif (H1) atau hipotesis kerja (Ha) Sebuah hipotesis (kadang gabungan) yang berhubungan dengan teori yang akan dibuktikan. Tes Statistik Sebuah prosedur yang masukannya adalah sampel dan hasilnya adalah hipotesis. Daerah penerimaan Nilai dari tes statistik yang menggagalkan untuk penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan Nilai dari tes statistik untuk penolakan hipotesis nol. Kekuatan Statistik (1 − β) Probabilitas kebenaran pada saat menolak hipotesis nol. Tingkat signifikan test (α) Probabilitas kesalahan pada saat menolak hipotesis nol. Nilai P (P-value) Probabilitas, mengasumsikan hipotesis nol benar. Interpretasi Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol bisa ditolak. Jika nilai p tidak lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan bisa disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menolak hipotesa nol, dan bisa disimpulkan bahwa hipotesa alternatif yang benar. Prosedur uji hipotesis 1. Tentukan parameter yang akan diuji 2. Tentukan Hipotesis nol (H0) 3. Tentukan Hipotesis alternatif (H1) 4. Tentukan (α) 5. Pilih statistik yang tepat 6. Tentukan daerah penolakan 7. Hitung statistik uji 8. Putuskan apakah Hipotesis nol (H0) ditolak atau tidak Contoh uji hipotesis Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut. Dalam kasus ini, hipotesis nol (H0) adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis alternatif (H1) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif (H1) inilah yang akan dibuktikan. Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut: 1. Orang tersebut tidak bersalah. 2. Orang tersebut bersalah. Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim: 1. Melepaskan orang tersebut. 2. Memenjarakan orang tersebut. Hipotesis nol (H0) benar (Orang tersebut tidak bersalah) Hipotesis alternatif (H1) benar (Orang tersebut bersalah) Menerima hipotesis nol (Orang tersebut dibebaskan) Keputusan yang benar Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe II) Menolak hipotesis nol (Orang tersebut dipenjara) Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe I) Keputusan yang benar. Dalam kasus ini, ada dua kemungkinan kesalahan yang dilakukan hakim: 1. Memenjarakan orang yang benar (Kesalahan Tipe I) 2. Melepaskan orang yang bersalah (Kesalahan Tipe II) Rumus Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masing-masing uji hipotesis tersebut. Nama Rumus Asumsi / Catatan Satu sampel z-test (En=One-sample z-test) (Populasi normal atau n > 30) dan σ diketahui. (z adalah jarak dari rata-rata sehubungan dengan simpangan baku rata-rata). Untuk distribusi non-normal memungkinkan untuk dihitung proporsi terkecil dalam sebuah populasi yang berada di dalam k simpangan baku untuk setiap k. Dua sampel z-test (En=Two-sample z-test) Populasi normal dan observasi independen dan σ1 dn σ2 diketahui Satu sampel t-test (En=One-sample t-test) (Populasi normal atau n > 30) dan tidak diketahui Pasangan t-test (En=Paired t-test) (Populasi normal dari perbedaan atau n > 30) dan tidak diktahui Dua sampel t-test digabung (En=Two-sample pooled t-test) varians yang sama [4] (Populasi normal atau n1 + n2 > 40) dan observasi independen dan σ1 = σ2 idak diketahui Dua sampel t-test terpisah (En=Two-sample unpooled t-test) varians tidak sama [4] (Populasi normal atau n1 + n2 > 40) dan observasi independen dan kedua σ1 ≠ σ2 diketahui Satu proporsi z-test (En=One-proportion z-test) n .p0 > 10 dan n (1 − p0) > 10. Dua proporsi z-test (En=Two-proportion z-test) digabungkan n1 p1 > 5 dan n1(1 − p1) > 5 dan n2 p2 > 5 dan n2(1 − p2) > 5 dan observasi independen. Dua proporsi z-test (En=Two-proportion z-test) tidak digabung n1 p1 > 5 dan n1(1 − p1) > 5 dan n2 p2 > 5 dan n2(1 − p2) > 5 dan observasi independen. Chi-squared test untuk varians Populasi normal Chi-squared test untuk goodness of fit df = k - 1 - # parameter terestimasi • Semua jumlah yang diharapkan paling tidak 5.[5] • Semua jumlah yang diharapkan > 1 dan tidak lebih dari 20% dari jumlah yang diharapkan lebih kecil dari 5[6] Dua sampel F test untuk persamaan varians (En=Two-sample F test for equality of variances) Populasi normal Diurutkan > dan H0 ditolak jika [7] Definisi simbol: • , probabilitas melakukan kesalahan tipe I (menolak hipotesis nol pada saat hipotesis nol benar) • = Jumlah sampel • = Jumlah sampel 1 • = Jumlah sampel 2 • = Rata-rata sampel • = Dugaan rata-rata populasi • = Rata-rata populasi 1 • = Rata-rata populasi 2 • = Simpangan baku populasi • = Varians populasi • = Simpangan baku sampel • = Penjumlahan(dari angka sejumlak k) • = Variacs sampel • = Simpangan baku sampe 1 • = Simpangan baku sampe 2 • = t statistik • = derajat kebebasan (En=Degree of freedom) • = Rata-rata perbedaan sampel • = Dugaan rata-rata perbedaan populasi • = Simpangan baku perbedaan • = Chi-squared statistik • = x/n = Proporsi sampel, (kecuali ditentukan sebelumnya) • = Dugaan proporsi populasi • = proporsi 1 • = proporsi 2 • = Dugaan perbedaan proporsi • = minimum of n1 and n2 • • • = F statistik Referensi 1. R. A. Fisher (1925). Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43. 2. Cramer, Duncan; Dennis Howitt (2004). The Sage Dictionary of Statistics. hlm. 76. ISBN 076194138X. 3. Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. (2005). Testing Statistical Hypotheses (ed. 3E). New York: Springer. ISBN 0387988645. 4. NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means 5. Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350. 6. Weiss, Neil A. (1999). Introductory Statistics (ed. 5th). hlm. 802. ISBN 0-201-59877-9. 7. NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations the same as testing variances)

BAB 8 ANALISIS 
 VARIANS Analisis varians (analysis of variance, ANOVA) adalah suatu metode analisis statistika yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Dalam literatur Indonesia metode ini dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari masalah Behrens-Fisher, sehingga uji-F juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak statistika modern. Dalam praktik, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis (lebih sering dipakai) maupun pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan). Secara umum, analisis varians menguji dua varians (atau ragam) berdasarkan hipotesis nol bahwa kedua varians itu sama. Varians pertama adalah varians antarcontoh (among samples) dan varians kedua adalah varians di dalam masing-masing contoh (within samples). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua contoh akan memberikan hasil yang sama dengan uji-t untuk dua rerata (mean). Supaya sahih (valid) dalam menafsirkan hasilnya, analisis varians menggantungkan diri pada empat asumsi yang harus dipenuhi dalam perancangan percobaan: 1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-Snedecor 2. Varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas, karena hanya digunakan satu penduga (estimate) untuk varians dalam contoh 3. Masing-masing contoh saling bebas, yang harus dapat diatur dengan perancangan percobaan yang tepat 4. Komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif (saling menjumlah). Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku) Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akarkuadrat dari varian. Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain. Penghitungan Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan. Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0. Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif. Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n). Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel. Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi : Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku). Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan : Rumus varian : Rumus standar deviasi (simpangan baku) : Contoh Penghitungan Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas. Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22. Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian. Keterangan: s2 = varian s = standar deviasi (simpangan baku) xi = nilai x ke-i = rata-rata n = ukuran sampel

BAB9 ANALISIS REGRESI DAN KORELASI ANALISIS REGRESI KORELASI

 Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah/variabel bebas (X) dengan satu peubah tak bebas . dalam penelitian peubah bebas ( X) biasanya peubah yang ditentukan oleh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan dimasukkan kedalam peubah bebas (X), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak bebas . Sedangkan peubah tak bebas dalam penelitian berupa respon yang diukur akibat perlakuan/peubah bebas (X). misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam pada umur tertentu dan sebagainya. Untuk mempelajari cara melakukan analisis regresi linear, silahkan baca artikel kami antara lain: Regresi Linear Sederhana dengan SPSS Regresi Linear Berganda dengan Minitab Regresi Linear Berganda dengan STATA Analisis Regresi dalam Excel Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinom derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial, logaritma, sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi biasanya dilakukan transformasi supaya menjadi bentuk polinom. Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu peubah bebas (X) dengan satu peubah tak bebas mempunyai persamaan: Y =a +bx Disini a disebut intersep dan b adalah koefisien arah atau koefisien beta. Dalam pengertian fungsi persamaan garis Y + a + bx hanya ada satu yang dapat dibentuk dari dua buah titik dengan koordinat yang berbeda yaitu ( X1, Y1) dan X2,Y2). Hal ini berarti kita bisa membuat banyak sekali persamaan garis dalam bentuk lain melalui dua buat titik yang berbeda koordinatnya/tidak berimpit. Persamaan garis melalui dua buah titik dirumuskan sebagai berikut: Persamaan Garis Regresi Sebagai contoh misalnya titik A (1,3) dan titik B ($,9) maka persamaan garis linear yang dapat dibuat adalah: Persamaan Garis Linear Dalam bentuk matrik bisa kita buat persaman sebagai berikut: Matrix Regresi Linear Jadi a=1 dan b=2 sehingga persamaannya Y=1 +2X Jika jumlah data sebanyak n maka persamaannya sebagai berikut: Disini βo adalah penduga a, β1 adlah penduga b dan εi merupakan besarnya simpangan persamaan garis penduga. Semakin kecil nilai εi persamaan regresi yang diperoleh akan semakin baik. Jadi kita dapat menuliskan pengamatan kita menjadi: Dengan notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut: Jadi kita peroleh matrik Y,X,β dan ε dengan dimensi sebagai berikut : Jika diasumsikan E(ε) = 0 maka E(Y) = Xβ Bila modelnya benar β merupakan penduga terbaik yaitu dengan jalan melakukan penggandaan awal dengan X’ sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut: Jadi β=(X’X)-1X’Y Disini(X’X)-1 adalah kebalikan (inverse) dari matrik X’X Contoh : Seorang peneliti ingin mengetahui bentuk hubungan antara jumlah cacing jenis tertentu dengan jumlah telurnya pada usus ayam buras. Untuk tujuan tersebut diperiksa 20 ekor ayam dan ditemukan sebagai berikut: Tabel 1 jumlah cacing dan jumlah telurnya pada usus ayam buras. Dari data diatas kita bisa menghitung: Bila kita duga bentuk hubungan antara jumlah cacing (X) dan jumlah telurnya adalah: Jadi Ŷ=-2,442 + 4,103 Xi, Persamaan garis regresi Yi =-2,442 + 4,103 Xi bukanlah satu-satunya garis penduga untuk menyatakan hubungan antara jumlah cacing dengan jumlah telurnya. Sudah barang tentu masih banyak lagi bentuk persamaan penduga yang dapat dibuat misalnya dalam bentuk persamaan Yi=βo+β1Xi+β2Xi2,Yi=βoXiβ1 (dalam bentuk linear LnYi=Ln βo+βiLnXi) dan masih banyak lagi bentuk yang lainnya. Untuk menyatakan apakah garis yang diperoleh cukup baik untuk menggambarkan hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas dapat dilakukan pengujian bentuk model yang digunakan dan keeratan hubungannya (korelasi) untuk menyatakan ketepatan dan ketelitian persamaan garis regresi yang diperoleh

BAB7 Pengujian Hipotesis Uji hipotesis adalah metode pengambilan keputusan yang didasarkan dari analisis data, baik dari percobaan yang terkontrol, maupun dari observasi (tidak terkontrol). Dalam statistik sebuah hasil bisa dikatakan signifikan secara statistik jika kejadian tersebut hampir tidak mungkin disebabkan oleh faktor yang kebetulan, sesuai dengan batas probabilitas yang sudah ditentukan sebelumnya. Uji hipotesis kadang disebut juga "konfirmasi analisis data". Keputusan dari uji hipotesis hampir selalu dibuat berdasarkan pengujian hipotesis nol. Ini adalah pengujian untuk menjawab pertanyaan yang mengasumsikan hipotesis nol adalah benar. Daerah kritis (bahasa Inggris: critical region) dari uji hipotesis adalah serangkaian hasil yang bisa menolak hipotesis nol, untuk menerima hipotesis alternatif. Daerah kritis ini biasanya disimbolkan dengan huruf C. Definisi Istilah Definisi berikut diambil dari buku karangan Lehmann dan Romano:[3] Hipotesis statistik Sebuah pernyataan tentang parameter yang menjelaskan sebuah populasi (bukan sampel). Statistik Angka yang dihitung dari sekumpulan sampel. Hipotesis nol (H0) Sebuah hipotesis yang berlawanan dengan teori yang akan dibuktikan. Hipotesis alternatif (H1) atau hipotesis kerja (Ha) Sebuah hipotesis (kadang gabungan) yang berhubungan dengan teori yang akan dibuktikan. Tes Statistik Sebuah prosedur yang masukannya adalah sampel dan hasilnya adalah hipotesis. Daerah penerimaan Nilai dari tes statistik yang menggagalkan untuk penolakan hipotesis nol. Daerah penolakan Nilai dari tes statistik untuk penolakan hipotesis nol. Kekuatan Statistik (1 − β) Probabilitas kebenaran pada saat menolak hipotesis nol. Tingkat signifikan test (α) Probabilitas kesalahan pada saat menolak hipotesis nol. Nilai P (P-value) Probabilitas, mengasumsikan hipotesis nol benar. Interpretasi Jika nilai p lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan, maka hipotesis nol bisa ditolak. Jika nilai p tidak lebih kecil dari tingkat signifikan tes yang diharapkan bisa disimpulkan bahwa tidak cukup bukti untuk menolak hipotesa nol, dan bisa disimpulkan bahwa hipotesa alternatif yang benar. Prosedur uji hipotesis 1. Tentukan parameter yang akan diuji 2. Tentukan Hipotesis nol (H0) 3. Tentukan Hipotesis alternatif (H1) 4. Tentukan (α) 5. Pilih statistik yang tepat 6. Tentukan daerah penolakan 7. Hitung statistik uji 8. Putuskan apakah Hipotesis nol (H0) ditolak atau tidak Contoh uji hipotesis Seorang yang dituduh pencuri dihadapkan kepada seorang hakim. Seorang hakim akan menganggap orang tersebut tidak bersalah, sampai kesalahannya bisa dibuktikan. Seorang jaksa akan berusaha membuktikan kesalahan orang tersebut. Dalam kasus ini, hipotesis nol (H0) adalah: "Orang tersebut tidak bersalah", dan hipotesis alternatif (H1) adalah: "Orang tersebut bersalah". Hipotesis alternatif (H1) inilah yang akan dibuktikan. Ada dua kondisi yang mungkin terjadi terhadap orang tersebut: 1. Orang tersebut tidak bersalah. 2. Orang tersebut bersalah. Dan ada dua keputusan yang bisa diambil hakim: 1. Melepaskan orang tersebut. 2. Memenjarakan orang tersebut. Hipotesis nol (H0) benar (Orang tersebut tidak bersalah) Hipotesis alternatif (H1) benar (Orang tersebut bersalah) Menerima hipotesis nol (Orang tersebut dibebaskan) Keputusan yang benar Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe II) Menolak hipotesis nol (Orang tersebut dipenjara) Keputusan yang salah (Kesalahan Tipe I) Keputusan yang benar. Dalam kasus ini, ada dua kemungkinan kesalahan yang dilakukan hakim: 1. Memenjarakan orang yang benar (Kesalahan Tipe I) 2. Melepaskan orang yang bersalah (Kesalahan Tipe II) Rumus Ada banyak jenis uji hipotesis yang dikenal. Tabel berikut menjelaskan rumus untuk masing-masing uji hipotesis tersebut. Nama Rumus Asumsi / Catatan Satu sampel z-test (En=One-sample z-test) (Populasi normal atau n > 30) dan σ diketahui. (z adalah jarak dari rata-rata sehubungan dengan simpangan baku rata-rata). Untuk distribusi non-normal memungkinkan untuk dihitung proporsi terkecil dalam sebuah populasi yang berada di dalam k simpangan baku untuk setiap k. Dua sampel z-test (En=Two-sample z-test) Populasi normal dan observasi independen dan σ1 dn σ2 diketahui Satu sampel t-test (En=One-sample t-test) (Populasi normal atau n > 30) dan tidak diketahui Pasangan t-test (En=Paired t-test) (Populasi normal dari perbedaan atau n > 30) dan tidak diktahui Dua sampel t-test digabung (En=Two-sample pooled t-test) varians yang sama [4] (Populasi normal atau n1 + n2 > 40) dan observasi independen dan σ1 = σ2 idak diketahui Dua sampel t-test terpisah (En=Two-sample unpooled t-test) varians tidak sama [4] (Populasi normal atau n1 + n2 > 40) dan observasi independen dan kedua σ1 ≠ σ2 diketahui Satu proporsi z-test (En=One-proportion z-test) n .p0 > 10 dan n (1 − p0) > 10. Dua proporsi z-test (En=Two-proportion z-test) digabungkan n1 p1 > 5 dan n1(1 − p1) > 5 dan n2 p2 > 5 dan n2(1 − p2) > 5 dan observasi independen. Dua proporsi z-test (En=Two-proportion z-test) tidak digabung n1 p1 > 5 dan n1(1 − p1) > 5 dan n2 p2 > 5 dan n2(1 − p2) > 5 dan observasi independen. Chi-squared test untuk varians Populasi normal Chi-squared test untuk goodness of fit df = k - 1 - # parameter terestimasi • Semua jumlah yang diharapkan paling tidak 5.[5] • Semua jumlah yang diharapkan > 1 dan tidak lebih dari 20% dari jumlah yang diharapkan lebih kecil dari 5[6] Dua sampel F test untuk persamaan varians (En=Two-sample F test for equality of variances) Populasi normal Diurutkan > dan H0 ditolak jika [7] Definisi simbol: • , probabilitas melakukan kesalahan tipe I (menolak hipotesis nol pada saat hipotesis nol benar) • = Jumlah sampel • = Jumlah sampel 1 • = Jumlah sampel 2 • = Rata-rata sampel • = Dugaan rata-rata populasi • = Rata-rata populasi 1 • = Rata-rata populasi 2 • = Simpangan baku populasi • = Varians populasi • = Simpangan baku sampel • = Penjumlahan(dari angka sejumlak k) • = Variacs sampel • = Simpangan baku sampe 1 • = Simpangan baku sampe 2 • = t statistik • = derajat kebebasan (En=Degree of freedom) • = Rata-rata perbedaan sampel • = Dugaan rata-rata perbedaan populasi • = Simpangan baku perbedaan • = Chi-squared statistik • = x/n = Proporsi sampel, (kecuali ditentukan sebelumnya) • = Dugaan proporsi populasi • = proporsi 1 • = proporsi 2 • = Dugaan perbedaan proporsi • = minimum of n1 and n2 • • • = F statistik Referensi 1. R. A. Fisher (1925). Statistical Methods for Research Workers, Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925, p.43. 2. Cramer, Duncan; Dennis Howitt (2004). The Sage Dictionary of Statistics. hlm. 76. ISBN 076194138X. 3. Lehmann, E.L.; Romano, Joseph P. (2005). Testing Statistical Hypotheses (ed. 3E). New York: Springer. ISBN 0387988645. 4. NIST handbook: Two-Sample t-Test for Equal Means 5. Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 350. 6. Weiss, Neil A. (1999). Introductory Statistics (ed. 5th). hlm. 802. ISBN 0-201-59877-9. 7. NIST handbook: F-Test for Equality of Two Standard Deviations (Testing standard deviations the same as testing variances)

BAB VI DISTRIBUSI NORMAL

TUGAS STATISTIKA BAB VI DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI t DAN DISTRIBUSI f

BAB VI

DISTRIBUSI NORMAL

 Distribusi  normal  adalah distribusi  dengan  variabel  acak  kontinu  atau sering

disebut distribusi Gauss. Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada

X = x dengan persamaan :

1

( ) =

√2

(      )

dengan :   π   = nilai konstan yang bila ditulis dengan 4 desimal π = 3,1416

   e   = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183.

µ   = parameter, ternyata merupakan rata-rata untuk distribusi.

σ   = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi.

Nilai  x  mempunyai  batas  -  ∞  <  x  <  ∞,  maka  dikatakan  bahwa  variabel  acak X

berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :

1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar X.

2) Bentuknya simetris terhadap x = µ.

3) Mempunyai satu modus, jadi kurva normal, tercapai pada x = µ sebesar ^,.

4) Grafiknya  mendekati  (berasimtotkan)  sumbu datar  x  dimulai  dari  x  =  µ  +  3σ  ke

kanan dan x = µ - 3σ ke kiri.

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Untuk setiap pasang µ  dan    σ,  sifat-sifat  di  atas  akan  selalu dipenuhi,  hanya

bentuk kurvanya  saja  yang berlainan.  Jika  σ  makin  besar,  kurvanya  makin rendah

(platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

                             (A)

                                             (B)

(A) kurva normal dengan µ = 10 dan σ = 5, sedangkan  (B) kurva normal dengan µ = 20

dan σ = 7.

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P(a<X<b), digunakan

rumus:

( <         < ) =         (      2 )

/ (       )

Distribusi normal standar ialah distribusi dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ

= 1. Fungsi densitasnya berbentuk :

1

( ) = −

Untuk z dalam daerah - ∞ < z < ∞.

√2

/

Untuk menentukan distribusi normal baku dapat menggunakan transformasi :

−

=   −

Grafiknya dapat dilihat seperti berikut ini :

Normal Umum

        Normal Standar

µ-3σ   µ-2σ   µ-σ  µ  µ+σ  µ+2σ  µ+3σ             -3     -2     -1     0     1     2     3

rata-rata = µ ≠ 0

Simpangan baku = σ ≠ 1

rata-rata = 0  

σ = 1

Setelah didapatkan formasi distribusi normal baku dari distribusi normal umum

dari  rumus     =   −

  maka  daftar  distribusi  normal  dapat  digunakan.  Dengan  daftar

ini bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari dengan cara :

1) Hitung z sehingga dua desimal.

2) Gambarkan kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada gambar di atas.

3) Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

4) Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak

di titik nol.

5) Dalam daftar, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal

keduanya dicari pada baris paling atas.

6) Dari  z  di  kolom  kiri  maju ke  kanan  dan  dari  z  di  baris  atas  turun  ke  bawah,  maka

didapat  bilangan  yang merupakan  luas  yang dicari.  Bilangan  yang didapat  harus

ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal).

Karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap µ = 0, maka luas dari garis

tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5.

Beberapa contoh, penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah :

1)    Antara z = 0 dan z = 2,15.

Di bawah z pada kolom kiri  cari 2,1 dan di atas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke

kanan dan dari 5 menurun, didapat 4842.

Luas daerah yang dicari, dapat dilihat daerah yang diarsir, = 0,4842.

                             0       2,15

2)    Antara z = 0 dan z = -1,86.

Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0. Untuk

daftar digunakan z = 1,86. Di bawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan di atas angka 6.

Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah didapat 4686. 

Luas daerah = daerah diarsir = 0,4686.

    -1,86      0

3)    Antara z = -1,50 dan z = 1,82.

Dari  grafik  terlihat  bahwa  kita  perlu  mencari  luas  dua  kali,  lalu dijumlahkan.

Mengikuti  cara  1)  untuk    z  =  1,82  dan  cara  di  2)  untuk z  =  -1,50,  masing-masing

didapat 0,4656 dan 0,4332. Jumlah = luas yang dicari = 0,4332 + 0,4656 = 0,8988.

      -1,5     0      1,82  

4)    Antara z = 1,40 dan z = 2,65.

Yang  dicari adalah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Dengan cara yang dijelaskan

di  atas  masing-masing didapat  0,4960 dan  0,4192.  Luas  yang  dicari  =  0,4960 –

0,4192 = 0,0768.

      0   1,40  2,65

5)    Dari z = 1,96 ke kiri.

Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke z

= 1,96. Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750. Luas = 0,5 + 0,4750 = 0,9750.

       0    1,96

6)    Dari z = 1,96 ke kanan.

Dari  gambar  6)  dapat  dilihat  bahwa  yang dicari  merupakan  daerah  yang tidak

diarsir. Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (= 0,5) dikurangi luas dari z = 0

sampai ke z = 1,96 yang besarnya 0,4750. Luas = 0,5 – 0,4750 = 0,0250.

Untuk mencari  kembali  z  apabila  luasnya  diketahui,  maka  dilakukan  langkah

sebaliknya.  Misalnya,  jika  luas  =  0,4931,  maka  dalam  badan  daftar  dicari  4931 lalu

menuju ke pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z

didapat 6. Harga z = 2,46.

Beberapa  bagian  luas  untuk distribusi  normal  umum  dengan  rata-rata  µ  dan

simpangan  baku  σ  tertentu dengan mudah  dapat  ditentukan.  Tepatnya,  jika  sebuah

fenomena berdistribusi normal, maka dari fenomena itu :

1)   Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ.

2)   Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ.

3)   Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan  baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ.

Contoh :

Berat  barang siswa  dalam  suatu tour  rata-rata  3,750 gram  dengan  simpangan

baku 325 gram. Jika berat barang berdistribusi normal, maka tentukan ada :

a)  Berapa persen siswa yang mempunyai berta barang lebih dari 4.500 gram ?

b)  Berapa  orang siswa  yang yang memiliki  berat  barang antara  3.500 gram  dan  4.500

gram, jika semuanya ada 10.000 siswa ?

c)  Berapa siswa  yang orang siswa  yang berat barangnya  lebih kecil  atau sama dengan

4.000 gram jika semuanya ada 10.000 siswa?

d)  Berapa  orang siswa  yang berat  barangnya  4.250 gram  jika  semuanya  ada  5.000

siswa?

Penyelesaian :

Dengan X  =  berat  barang  siswa  dalam  gram,  µ  =  3,750 gram,  σ  =  325 gram,

maka :

a)  Dengan transformasi rumu  =   −

=   −

s   untuk X = 4.500 :

4.500 −  3.750

  = 2,31

325

Berat yang lebih dari 4.500 gram, pada grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas

daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. Jadi ada 1, 04% dari dari berat barang siswa yang

lebih dari 4.500 gram.

          0         2,31

b) Dengan X = 3.500 dan X = 4.500 didapat :

3.500 −  3.750

=                             =   −0,77           = 2,31

325

Luas daerah  yang perlu = daerah  yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = 0,7690. Banyak

siswa  yang berat  barangnya  antara  3.500 gram  dan  4.500 gram  diperkirakan  ada

(0,7690)(10.000) = 7.690.

                  -0,77  0      2,31

c)  Karena beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram, maka beratnya harus lebih

kecil dari 4.000,5 gram.

4.000,5 −  3.750

=                                =   −0,77

325

Peluang berat barang siswa lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram = 0,5 + 0, 2794

= 0,7794.

Banyak siswa = (0,7794)(10.000) = 7794.

d) Jika berat 4.250 gram berarti berat antara 4.249,5 gram dan 4.250,5 gram. Jadi untuk

X = 4.249,5 dan X = 4.250,5 didapat :

4.249,5 − 3.750

=                               = 1,53.

325

4.250,5 − 3.750

=                               = 1,54

325

Luas daerah yang perlu = 0,4382 – 0,4370 = 0,0012.

Banyak siswa = (0,0012)(5.000) = 6.

Antara  distribusi  binom  dan  distribusi  normal  terdapat  hubungan  tertentu.  Jika

untuk fenomena yang berdistribusi binom berlaku :

a)  N cukup besar,

b) π  =  P(A)  =  peluang peristiwa  A  terjadi,  tidak  terlalu dekat  kepada  nol,  maka

distribusi  binom  dapat  didekati  oleh  distribusi  normal  dengan  rata-rata  µ  =  Nπ  dan

simpangan baku σ =

 (1 −   ).

Untuk pembakuan,  agar  daftar  distribusi  normal  baku dapat  dipakai,  maka

digunakan transformasi :

−

=

(1 −   )

Dengan  X  =  variabel  acak  dalam  distribusi  diskrit  yang menyatakan  terjadinya

peristiwa  A.  Karena  disini  telah  mengubah  variabel  acak diskrit  dari  distribusi  binom

menjadi  variabel  acak kontinu dalam  distribusi  normal,  maka  nilai-nilai  X  perlu

mendapat  penyesuaian.  Yang dipakai  ialah dengan  jalan menambah  atau mengurangi

dengan 0,5.

Perhatikan distribusi binom oleh distribusi normal sangat berfaedah, antara lain

untuk mempermudah perhitungan.

Contoh :

10% dari siswa tergolong kategori A. Sebuah sampel acak terdiri atas 400 siswa

telah diambil. Tentukan peluangnya akan terdapat :

a)  paling banyak 30 orang tergolong kategori A.

b) Antara 30 dan 50 orang tergolong kategori A.

c)  55 orang atau lebih termasuk kategori A.

Penyelesaian :

Soal  ini  merupakan  soal  distribusi  binom.  Tetapi  lebih cepat  dan  mudah  bila

diselesaikan dengan distribusi normal. Kita ambil X = banyak siswa termasuk kategori

A. Maka dari segi X ini didapat:

µ = 0,1 x 400 orang = 40 0rang.

Σ = √400   0,1   0,9 orang = 6 orang.

a)  Paling banyak 30 orang dari  kategori  A,  berarti  X  =  0,  1,  2,  ...,  30.  Melakukan

penyesuaian terhadap X, maka sekarang X menjadi - 0,5 < X < 30,5, sehingga :

= 

−0,5 − 40

6

30,5 − 40

= −6,57.

= 

6

= −1,58

Luas  daerah yang diarsir  adalah  0,5 –  0,  4429 =  0,0571.  Peluangnya  terdapat

paling banyak 30 orang termasuk kategori A adalah 0,0571.

-1,58   0

b)  Untuk distribusi  normal,  disini  berlaku 30,5 <  X  <  49,5.  Bilangan  standar  z-nya

masing-masing :

= 

30,5 − 40

6

= −1,58                         = 

49,5 − 40

6

= +1,58.

Dari  daftar  distribusi  normal  baku terdapat  peluang yang ditanyakan  =  2(0,4429)  =

0,8858.

c)  55 orang atau lebih untuk distribusi  binom  memberikan  X  >  54,5 untuk distribusi

normal.

Maka

54,5 − 40

=                     = 2,42

6

Sehingga  kita  perlu luas  daerah  dari  Z  =  2,42 ke  kanan.  Dari  daftar  distribusi

normal baku didapat peluang yang dicari = 0,5 – 0,4922 = 0,0078.

 0        2,42

Apabila  kondisi  populasi  digambarkan  dalam  bentuk kurva,  bisa  dijumpai

berbagai  macam  bentuk kurva.  Hal  ini  tergantung dari  kondisi  penyebaran  frekuensi

skor  yang terkumpul.  Pada  umumnya  kondisi  populasi  dalam  dunia  pendidikan

berdistribusi  normal.  Tetapi  tidak selamanyapopulasi  yang dijumpai  akan  berdistribusi

normal,  oleh  karena  itu,  kita  harus  hati-hati  dalam  menghadapi  data  tersebut.  Analisis

statisik untuk data  yang berdistribusi  normal  akan  berbeda,  dengan  demikian  maka

interpretasinyapun akan dipengaruhi oleh bentuk distribusinya.

Data  populasi  akan  berdistribusi  normal  jika  rata-rata  nilainya  sama  dengan

modenya  serta  sama  dengan  mediannya.  Ini  berarti  bahwa  sebagian  nilai  (skor)

mengumpul pada posisi tengah, sedangkan frekuensi skor yang rendah dan yang tinggi

menunjukkan kondisi yang semakin sedikit seimbang. Oleh karena penurunan frekuensi

pada skor  yang semakin rendah dan  skor  yang semakin tinggi  adalah seimbang,  maka

penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri akan seimbang.

Kurva  normal  mempunyai  hubungan  erat    dengan  data  yang kontinue  (interval

mauoun  ratio).  Distribusi  yang  normal  kurvanya  merupakan  distribusi  yang paling

banyak dijumpai  dan  digunakan  sebagai  pengembangan  rumus-rumus  statistik

parametrik (inferensial  statistik).  Disamping itu,  sifat  normal  ini  yang paling banyak

ditunjukkan oleh sifat populasi.

Distribusi normal mempunyai sifat-sifat yang khusus, yaitu :

1.  Bentuknya simetri dengan sumbu X.

2.  Nilai rata-rata = mode = media.

3.  Mode hanya satu (unimodal). 

4.  Ujung-ujung grafiknya  hanya  mendekati  sumbu  X atau dengan kata  lain tidak akan

bersinggungan maupun berpotongan dengan sumbu X (berasimtot dengan sumbu X).

5.  Kurva  akan  landai  jika  rentangan  skor  besar,  sebaliknya  jika  rentangan  skor  kecil

maka kurvanya akan meninggi.

6.  Luas daerah kurva akan sama dengan luas satu persegi empat.

Bentuk kurva  normal  tergantung pada  distribusi  nilai/skor  yang akan  dibuat

kurvanya.  Penyebaran  skor  dan  panjang pendeknya  rentangan  distribusi  berpengaruh

besar  atau menentuka  bentuk kurvanya.  Jika  jumlah  responden  sama,  maka  kurva

normal dari distribusi skor tersebut akan berbeda bentuknya.

Jenis  bentuk kurva  yang  diakibatkan  oleh perbedaan rentangan  nilai  dan

simpangan baku ada tiga macam, yaitu :

1.  Leptokurtik,  merupakan  bentuk kurva  normal  yang  meruncing  tinggi  karena

perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2.  Platykurtic,  merupakan  kurva  normal  yang mendatar  rendah  karena  perbedaan

frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3.  Normal,  merupakan  bentuk kurva  normal  yang biasa, artinya  bentuknya  merupakan

bentuk antara  leptokurtic  dan platykurtic,  karena  penyebaran  skor  biasa  dan  tidak

terjadi kejutan-kejutan yang berarti.

Bentuk ketiga kurva normal itu dapat dilihat pada grafik, berikut ini :

(1)

(2)

(3)

Kurva  normal dapat pula dibuat berdasarkan  skor  yang telah ditransformasikan

ke  Z  skor.  Proses  transformasi  distribusi  skor  yang  normal  akan  tetap menghasilkan

distribusi  Z  skor  yang normal  pula.  Untuk kepercayaan  kita,  dapat  dibuktikan  melalui

contoh soal di bawah.

Contoh : 1

Suatu penyebaran  nilai  matematika  siswa  pada  suatu sekolah  menengah  pertama

sebagai berikut :

65        65

75        75

60        70        70      70

80        80        80      85

75        75

85        90

Berdasarkan data tersebut di atas buatlah :

1.  Perhitungan rata-rata dan simpangan bakunya.

2.  Transformasi Z skor.

3.  Kurva berdasarkan distribusi skor asli.

4.  Kurva berdasarkan distribusi Z skor.

Rumus  rata-rata  yang digunakan  adalah  rumus  rata-rata  hitung yaitu (∑X)  :  n,

sedangkan  simpangan  bakunya  dihitung dengan  rumus

= ∑(      )    dan  rumus

=   √           untuk sejumlah    sampel,  tetapi  jika  yang akan  dihitung simpangan

bakunya merupakan populasi maka pembagi pada perhitungan variance sebesar N.

Jumlah skor adalah 1200

Jumlah responden adalah 16

Jadi, rata-ratanya adalah 1200 : 16 = 75

Jika data di atas merupakan populasi maka σ = 7,91

Jika data di atas merupakan sampel maka Sd = 8,16. Apabila kita menganggap

bahwa skor tersebut adalah skor yang berasal dari populasi, maka Z skornya adalah :

Untuk X = 60  

Untuk X = 65  

Untuk X = 70  

Untuk X = 75  

Untuk X = 80  

Untuk X = 85  

Untuk X = 90  

Z skor = (60 - 75) : 7,91 = -1,90

Z skor = (65 - 75) : 7,91 = -1,26

Z skor = (70 - 75) : 7,91 = -0,63

Z skor = (75 - 75) : 7,91 =  0

Z skor = (80 - 75) : 7,91 =  0,63

Z skor = (85 - 75) : 7,91 =  1,26

Z skor = (90 - 75) : 7,91 =  1,90

Berdasarkan distribusi skor asli kurvanya adalah :

  4

3

       2

        1

        0

           60         65       70        75        80        85       90        95

µ

Berdasarkan distribusi Z skor kurvanya adalah :

  4

3

       2

        1

        0

             -           -          -          0        0,63    1,26    1,90        95

          1,90     1,26    0,63

µ

Jelas  kini  bahwa  distribusi  skor  yang normal  akan  tetap normal  walaupun

dilakukan transformasi ke Z skor. Mengingat kurva normal tersebut simetri, maka garis

tegak lurus  pada  sumbu X  di  titik µ  akan  membagi  dua  bagian  kurva  menjadi  sama

besar.  Luas  seluruh  daerah  di  bawah  kurva  normal  adalah  100%  atau sama  dengan  1

(satu),  sehingga  belahan kanan  kurva  normal  dan  belahan  sebelah  kiri  kurva  normal

masing-masing mempunyai luas 0,5 atau 50%. Untuk lebih jelasnya tentang luas daerah

di bawah kurva normal dapat dilihat pada figur di bawah.

Melalui  transformasi  ke  Z  skor  kita  akan dapat  mencari  luar  daerah  di  bawah

kurva normal, untuk nilai-nilai Z tertentu. Dalam kasus ini kita hanya berpedoman pada

tabel  distribusi  normal.  Tabel  ini  disamping  dapat  digunakan  untuk menentukan  luas

daerah  di  bawah  kurva  normal  untuk batas  titik tertentu,  juga  dapat  digunakan  untuk

mencari  titik tertentu.  Tentunya  apabila  titik Z  yang tidak  diketahui,  sedangkan luas

daerah di bawah kurva normal diketahuinya. Cara menggunakan tabel ini sangat mudah

karena  dalam  tabel  hanya  terdiri  dari  tiga  kolom  dan  kita  tinggal  melihat  pasangan

angka antar kelompok dalam satu baris yang slah satu angkanya kita ketahui.

-2         -1       0           1         2

µ

     68, 26%

     95,46%

Selanjutnya dapat dijelaskan sebagai berikut  :

1.  Yang memuat berbagai kemungkinan nilai Z.

2.  Yang menunjukkan luas daerah di bawah kurva antara titik µ atau 0 dengan nilai Z.

3.  Yang menunjukkan luas daerah di bawah kurva diluar nilai Z atau luas daerah di

bawah kurva di atass nilai Z.

Pada  luas  kolom  B  dan  C  selalu berjumlah  0,5 karena  jumlah  B  dan  C

merupakan setengah dari luas daerah di bawah kurva normal. Penggunaan kolom B dan

C  secara  serentak (bersama)  tidak pernah  terjadi  kecuali  untuk mengontrol  kebenaran

angka-angka tersebut. Gunakan salah satu kolom B dan C sesuai dengan kebutuhannya. 

Contoh : 2

a.  Jika  diketahui  Z  skor  1,26 hitunglah  luas  daerah di  bawah  kurva  normal  antara  µ

dengan titik Z.

b.  Jika diketahui Z skor min 1,90 hitunglah luas daerah di bawah kurva normal antara µ

dengan titik Z.

c.  Jika luas daerah di luar titik Z adalah 0,4207 carilah titik Z nya.

d.  Jika luas daerah diantara titik Z dengan µ adalah 0,1179 carilah titik Z nya.

Dengan berpedoman  pada  tabel  distribusi  normal  kita  dapat  menjawab  semua

soal di atas.

1.  Lihat  pada  (tabel  distribusi  normal)  pada  kolom  a  yang  mengandung Z  1,26,

kemudian cari jodohnya pada kolom B diperoleh angka 0,3962.

2.  Lihat  pada  kolom  A  yang mengandung Z  1,90 (tanda  minus  tidak mempengaruhi

penentuan  angka  dalam  tabel),  kemudian  cari  jodohnya  pada  kolom  B  diperoleh

angka 0,4713.

3.  Lihat  pada  kolom  C  yang mengandung angka  0,4207,  kemudian  cari  jodohnya  di

kolom A diperoleh 0,20.

4.  Lihat  pada  kolom  B  yang mengandung angka  0,1179,  kemudian  cari  jodohnya  di

kolom A diperoleh 0,30.

DISTRIBUSI T DAN DISTRIBUSI F

1.  DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI T

Distribusi  dengan  variabel  acak kontinu lainnya,  selain dari  distribusi  normal,

ialah distribusi Student atau distribusi t. Fungsi densitasnya adalah:

( ) =

……………….

(1)

berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi -∞  t  ∞ dan K merupakan bilangan tetap

yang besarnya  bergantung pada  n  sedemikian  sehingga  luas  daerah  di  bawah  kurva

sama  dengan  satu unit.  Pada  distribusi  t  ini  terdapat  bilangan  (n  –  1)  yang dinamakan

derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Jika sebuah populasi mempunyai model dengan persamaan seperti dalam rumus

(1), maka dikatakan populasi itu berdistribusi t dengan dk (n – 1).

Bentuk grafiknya  seperti  distribusi  normal  baku,  simetrik terhadap t  =  0,

sehingga  sepintas  lalu hamper  tak ada  bedanya.  Untuk harga-harga  n  yang besar,

biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi distribusi normal baku, yaitu:

( ) = −¹

√2

Untuk perhitungan-perhitungan,  daftar  distribusi  t  sudah  disusun  berbentuk

tabel. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling

kiri, kolom dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan nilai peluang. 

Untuk penggunaan daftar distribusi t, perhatikan

gambar  di  samping.  Gambar  ini  merupakan  grafik

distribusi t dengan dk =  (baca: nu) dimana p = (n – 1).

Luas  bagian diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh

t_p.  Harga  t_p  inilah  yang dicari  dari  daftar  untuk

pasangan  dan p yang diberikan.

₀                    t_p

 Contoh penggunaan daftar distribusi t.

1.  Untuk n = 13, jadi dk = 12 dan p = 0,95, maka t = 1,78. 

Ini didapat dengan meliat tabel distrubusi t dengan jalan maju ke kanan dari 12 dan

menurun dari 0,95.

2.  Untuk n = 16, tentukan t supaya luas yang diarsir = 0,95. 

               -t           0           t

Dari grafik dapat dilihat bahwa luas ujung kiri = 1 – 0,95 = 0,05. Kedua ujung

ini sama luas, jadi luas ujung kanan, mulai dari t ke kanan = 0,025. Mulai dari t ke

kiri luasnya = 1 – 0,025 = 0,975. Harga p inilah yang dipakai untuk daftar.

Dengan   = 15 (lihat daftar distribusi t) kita  maju ke kanan dan dari p = 0,975

kita menurun, didapat t = 2,13. Jadi, antara t = 2,13 luas yang diarsir = 0,95.

  3. Tentukan  t  sehingga  luas  dari  t  ke  kiri  =  0,05 dengan  dk =  9.  Untuk ini  p yang

digunakan = 0,95. Dengan dk = 9 didapat t = 1,83. Karena yang diminta kurang dari

0,5 maka t harus bertanda negatif. Jadi, t = -1,83.

2. DISTRIBUSI F

Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi densitasnya

mempunyai persamaan:

(      )

( ) =        ∙

(

)

                  ……………….. 

(2)

Dengan  variabel  acak F  memenuhi  batas  F    0,  K  =  bilangan  tetap yang harganya

bergantung pada ₁ dan ₂, sedemikian sehingga luas di bawah kurva sama dengan satu,

₁ = dk pembilang dan ₂ = dk penyebut.

Jadi, distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan. Grafik distribusi F

tidak simetrik  dan  umumnya  sedikit  positif.  Seperti  juga  distribusi  lainnya,  untuk

keperluan  perhitungan  dengan  distribusi  F,  daftar  distribusi  F  telah  disediakan  seperti

daftar  distribusi  t.  Daftar  tersebut  berisikan  nilai-nilai  F  untuk peluang 0,01 dan  0,05

dengan derajat kebebasan  ₁ dan ₂. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan

yang diarsir,  sedangkan  dk =  ₁  ada  pada  baris  paling atas  dan dk =  ₂  pada  kolom

paling kiri.

Untuk setiap pasang dk,  ₁  dan  ₂,  daftar  berisikan

harga-harga F dengan kedua luas daerah ini 0,01 atau

0,05.

         F

 Untuk tiap dk = ₂, daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p = 0,05

dan yang bawah untuk p = 0,01. 

Contoh:

Untuk pasangan  derajat  kebebasan  ₁  =  24 dan  ₂  =  8,  ditulis  juga  (_1, ₂)  =  (24,  8),

maka  untu p =  0,05 didapat  F  =  3,12 sedangkan  untuk p =  0,01  didapat  F  =  5,28

(terdapat  pada  daftar  distribusi  F.  Ini  didapat  dengan  jalan  mencari  24 pada  baris  atas

dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan-

bilangan tersebut. Yang atas untuk p = 0,05 dan yang bawah untuk p = 0,01.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan

dk (₁, ₂) dan F0,01(24,8) = 5,28.

Meski daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0,01 dan p = 0,05, tetapi

sebenarnya  masih bias  didapat  nilai-nilai  F  dengan  peluang 0,99 dan  0,95.  Untuk itu,

digunakan hubunga:

1

(      )(   ,   )⁼

(   ,   )

Dalam  rumus  di  atas,  perhatikan  antara  p dan  (p –  1)  dan  pertukaran  antara  derajat

kebebasan (v₁, ₂) menjadi (₂, ₁). 

Contoh:  Telah didapat F0,05(24,8) = 3,12

Maka, _,( ,         )⁼,        = 0,321